Essa página apresentará um pouco da história deste campo das exatas e algumas questões elementares e introdutórias. Vamos lá!
Iniciarei com um resumo da história da álgebra, para que você possa conhecer mais sobre essa belíssima área da matemática.
A Álgebra é um ramo da matemática que lida com a manipulação de símbolos e letras para resolver problemas aritméticos e algébricos. Seu desenvolvimento ao longo dos séculos foi fundamental para a evolução da matemática como um todo.
A história da Álgebra remonta a civilizações antigas, como os egípcios e os babilônios, que já usavam conceitos algébricos básicos para resolver problemas relacionados a medidas, geometria e comércio. No entanto, o início da Álgebra como a conhecemos hoje está geralmente associado ao matemático grego Diofanto de Alexandria (por volta do século III), muitas vezes chamado de "o pai da Álgebra".
Diofanto foi pioneiro em resolver equações polinomiais de grau mais elevado, usando uma notação simbólica que se aproximava da que usamos atualmente. Seu trabalho influenciou matemáticos árabes, como Al-Khwarizmi, que viveu no século IX. Ele é considerado o "pai da Álgebra moderna" e foi responsável por sistematizar as técnicas algébricas em seu livro "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" (O Compendium de Cálculo por Conclusão e Balanceamento).
A palavra "Álgebra" tem origem árabe, derivada do título do livro de Al-Khwarizmi, e foi traduzida para o latim como "Algebrae". Nesse livro, ele apresentou métodos para resolver equações lineares e quadráticas, introduziu a noção de coeficientes e variáveis e desenvolveu regras algébricas que constituem a base da Álgebra moderna.
No século XVI, o matemático italiano Gerolamo Cardano e o francês François Viète contribuíram significativamente para o desenvolvimento da Álgebra. Cardano é famoso por suas soluções para equações cúbicas e quartas, enquanto Viète avançou em direção a uma notação algébrica mais sistemática.
A Álgebra continuou a evoluir ao longo dos séculos com contribuições de matemáticos como René Descartes, que unificou a Geometria e a Álgebra em seu trabalho "La Géométrie", e Leonhard Euler, que desenvolveu a Álgebra abstrata, que é a base para a moderna Álgebra de estruturas algébricas.
Hoje, a Álgebra abrange várias subáreas, como Álgebra linear, Álgebra abstrata, Álgebra booleana e muito mais. É uma das pedras angulares da matemática e tem aplicações em diversas áreas, como física, engenharia, ciência da computação, economia e estatística.
Vamos agora falar sobre a Álgebra fundamental, também conhecida como Álgebra elementar ou básica. Essa é a parte da Álgebra pela qual a maioria das pessoas dá seus primeiros passos na disciplina. É uma introdução essencial que estabelece as bases para estudos mais avançados.
A Álgebra fundamental engloba conceitos e técnicas que permitem resolver problemas aritméticos e expressar relações matemáticas de forma mais geral usando letras e símbolos. Entre os tópicos comuns dessa área estão:
-
Expressões Algébricas: Aprende-se a escrever expressões matemáticas usando letras para representar números desconhecidos (variáveis). Por exemplo, expressões como "2x + 3", "y - 5" ou "3a^2 - 2ab + b^2".
-
Equações e Inequações: Equações são expressões algébricas que afirmam que duas quantidades são iguais. Por exemplo, "2x = 8" é uma equação. Já inequações são desigualdades, como "3x > 12".
-
Sistemas de Equações: Envolve resolver simultaneamente um conjunto de equações. Por exemplo, um sistema com duas equações e duas variáveis, como:
2x + y = 7 3x - y = 5
A solução envolve encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações.
-
Propriedades dos Números: Estuda-se as propriedades das operações matemáticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como as leis associativas, comutativas e distributivas.
-
Exponenciação e Radiciação: Introduz-se as potências (exponenciação) e raízes (radiciação), por exemplo, "x^2" representa x elevado ao quadrado e "√x" representa a raiz quadrada de x.
-
Fatoração: Aprende-se a decompor expressões em fatores, por exemplo, fatorar "x^2 - 4" resulta em "(x + 2)(x - 2)".
-
Funções: Introdução às funções matemáticas e sua representação gráfica, como funções lineares e quadráticas.
A Álgebra fundamental foi desenvolvida e refinada ao longo dos séculos por matemáticos de diversas culturas e épocas, com o objetivo de estabelecer uma linguagem e uma estrutura algébrica sólida. Muitos dos conceitos fundamentais foram sistematizados por matemáticos árabes, como Al-Khwarizmi, e aperfeiçoados por outros matemáticos notáveis, como Descartes, Viète e Euler.
Atualmente, o conteúdo da Álgebra fundamental é amplamente aceito como uma base necessária para o estudo de matemática em níveis mais avançados e é ensinado nas escolas em todo o mundo. Seu escopo mínimo inicial foi definido com base na importância dos conceitos para o desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas e para o entendimento de estruturas algébricas mais complexas.
Com a Álgebra fundamental, você estará preparado para avançar para tópicos mais avançados, como Álgebra Linear, Álgebra Abstrata, Cálculo e outras áreas da matemática mais especializadas. Espero que continue se aprofundando nesse mundo fascinante da matemática e que esse conhecimento traga muitas realizações para você. Agora é com você! Revise as teorias disponibilizadas no App ÁLGEBRA TOTAL – GTED/UFFS, tente resolver as questões abaixo e deixe para consultar o gabarito somente com as questões feitas por você. Lembre-se, disso: Errar faz parte do processo de aprendizagem, não se preocupe com os erros por ser parte intrínseca da aquisição dos saberes.
Bons estudos e obrigado pela atenção !
Prof. Dr Carlos França (Líder do GTED/UFFS)
QUESTÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E GABARITO COMENTADO NO FINAL.
1 - O valor numérico da expressão ax + a² – a²x + ax² – 2x³ + 3a³, para a = 2 e x = 1, é:
A) 12
B) 19
C) 20
D) 24
E) 27
2) Durante a resolução de exercícios sobre expressões algébricas, o professor pediu para que os alunos realizassem a simplificação da expressão 8(3 – 5x) + 4(3x – 6). Se a simplificação for feita matematicamente, o polinômio encontrado será:
A) 28x + 24
B) -12
C) -14x + 12
D) -28x
E) 52x + 48
3) Um quadrado possui a medida dos seus lados iguais a (x + 3). Sabendo que a área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado, então a área do quadrado em questão é igual a:
A) x² + 3
B) x³ + 9
C) x² + 6x
D) x² + 6x + 9
E) x² + 6x + 3
4) Dadas as expressões algébricas Ax² – By² + x + 2y + 6 e 5x² + 4y² + Cx + D + 1, marque a alternativa que contém o valor de A + B + C + D, sabendo que eles são polinômios semelhantes.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
5) Dadas as expressões algébricas a seguir, marque aquela que pode ser classificada como um binômio:
A) ax²
B) 3a + 2x
C) 2ax
D) 2x + 3y + z
E) 2
6) Dadas as expressões algébricas A: 2x + 3y + 4 e B: 5x – 3y, então o valor de A + B será:
A) 11xy
B) 7x + y + 4
C) 7x + 4
D) 5x – 4
E) 7x – y
7) Analisando a expressão, sabendo que x = 9 e y = 16, então o valor dessa expressão é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
8) Analise o retângulo abaixo e diga qual é a área e o produto dos seus lados, então a expressão algébrica que representa a área do referido retângulo é:
A) 2x² + 5
B) 4x² + 25
C) 4x² – 25
D) 4x² – 10x + 25
E) 4x² + 20x – 25
9 ) (Enem - 2019) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe R$ 1000 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80 por dia trabalhado. Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em reais, que essa empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é expressa por:
A) Y = 80X + 920
B) Y = 80X + 1000
C) Y = 80X + 1080
D) Y = 160X + 840
E) Y = 160X + 1000
10) (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000 por km construído (n), acrescido de um valor fixo de R$ 350 000, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000 por km construído (n), acrescido de um valor fixo de R$ 150 000. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
A) 100n + 350 = 120n + 150
B) 100n + 150 = 120n + 350
C) 100(n + 350) = 120(n + 150)
D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
11 - (Enem - 2018) Uma empresa deseja iniciar uma campanha publicitária divulgando uma promoção para seus possíveis consumidores. Para esse tipo de campanha, os meios mais viáveis são a distribuição de panfletos na rua e os anúncios na rádio local. Considera-se que a população alcançada pela distribuição de panfletos seja igual à quantidade de panfletos distribuídos, enquanto a alcançada por um anúncio na rádio seja igual à quantidade de ouvintes desse anúncio. O custo de cada anúncio na rádio é de R$ 120, e a estimativa é de que seja ouvido por 1500 pessoas. Já a produção e a distribuição dos panfletos custam R$ 180 cada 1000 unidades. Considerando que cada pessoa será alcançada por um único desses meios de divulgação, a empresa pretende investir em ambas as mídias. Considere X e Y os valores (em real) gastos em anúncios na rádio e com panfletos respectivamente. O número de pessoas alcançadas pela campanha será dado pela expressão:
12) (IBFC) As expressões algébricas que contêm números e letras são utilizadas para representar situações no cotidiano. Para tornar mais simples o cálculo de áreas, verificamos os monômios, polinômios e termos semelhantes. Veja a Figura 3 abaixo - Área Algébrica:
Qual expressão algébrica representa o perímetro total da Figura 03 - Área Algébrica? Assinale a alternativa correta.
A) 20n + 120
B) 10n + 60
C) 15n + 6
D) 5n + 7
GABARITO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Questão 1
Alternativa E
Calculando o valor para a = 2 e x = 1:
Questão 2
Alternativa D
Primeiro calcularemos o produto:
Questão 3
Alternativa D
Para achar a área do quadrado, calcularemos o valor de (x + 3)²:
Questão 4 - Alternativa E
Como eles são polinômios semelhantes, temos que:
Ax² – By² + x + 2y + 6 = 5x² + 4y² + Cx + D + 1
Pelo primeiro termo, temos que:
A = 5
Agora igualando o segundo termo:
-B = 4
B = -4
Igualando o terceiro termo:
C = 1
Igualando os termos independentes:
D + 1 = 6
D = 6 – 1
D = 5
Assim, temos que:
A + B + C + D = 5 – 4 + 1 + 5 = 11 – 4 = 7
Questão 5 - Alternativa B
Uma expressão algébrica é classificada como binômio quando ela possui exatamente dois termos, que correspondem, nesse caso, a: 3a + 2x.
Questão 6 - Alternativa C
Realizando a soma dos termos semelhantes, temos que:
A + B = 2x + 3y + 4 + 5x – 3y
A + B = 7x – 0y + 4
A + B = 7x + 4
Questão 7 - Alternativa D
Substituindo x = 9 e y = 16, temos que:
Questão 8 - Alternativa C
Calculando a multiplicação entre a base e a altura do retângulo, temos que:
(2x + 5) (2x – 5) = 4x² – 10x + 10x – 25
(2x + 5) (2x – 5) = 4x² – 25
Então a área A desse retângulo pode ser expressa por:
A = 4x² – 25
Questão 9 - Alternativa D
Sabemos que X é o número de funcionários total da empresa. Tirando o gerente da conta, o número de diaristas é (X – 1).
Sabemos que o valor recebido, por semana, por diarista é de:
2⋅80=160
Então temos que:
Y = (X – 1) ∙ 160 + 1000
Y = 160X + 840
Questão 10 - Alternativa A
Montando a equação, temos que:
100 000n + 350 000 = 120 000n + 150 000
Simplificando a expressão, encontraremos a equação:
100 n + 350 = 120 n + 150
Questão 11 - Alternativa A
Sabemos que, para cada R$ 120 gastos, são atingidas 1500 pessoas.
Calculando a razão para o rádio:
1500120=504 pessoas atingidas por reais
Já para os panfletos, temos que, a cada 180 reais, são atingidas 1000 pessoas:
1000180=509 pessoas atingidas por reais
Então o alcance é dado pela expressão:
A= 50X4+50Y9
Questão 12 - Alternativa A
Calculando a soma dos lados, temos que:
2(n+1)+2(n+1)+2(n+4)+2(n+4)+2(n+20)+2(n+12)+2(n+7)+2(n+7)+2(n+2)+2(n+2)
4(n+1)+4(n+4)+2(n+20)+2(n+12)+4(n+7)+4(n+2)
4n+4+4n+16+2n+40+2n+24+4n+28+4n+8
20n+120
